Analysis Beispiele

\frac{8}{9} \cdot e^{9} - \frac{8}{9}

$\frac{8}{9} \cdot e^{9} - \frac{8}{9}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere

\frac{8}{9}

$\frac{8}{9}$ und

e^{9}

$e^{9}$ .

\frac{8 e^{9}}{9} - \frac{8}{9}

$\frac{8 e^{9}}{9} - \frac{8}{9}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{8 e^{9} - 8}{9}

$\frac{8 e^{9} - 8}{9}$

\frac{8 e^{9} - 8}{9}

$\frac{8 e^{9} - 8}{9}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe

8 e^{9}

$8 e^{9}$ als

{(2 e^{3})}^{3}

${(2 e^{3})}^{3}$ um.

\frac{{(2 e^{3})}^{3} - 8}{9}

$\frac{{(2 e^{3})}^{3} - 8}{9}$

Schritt 2.2

Schreibe

8

$8$ als

2^{3}

$2^{3}$ um.

\frac{{(2 e^{3})}^{3} - 2^{3}}{9}

$\frac{{(2 e^{3})}^{3} - 2^{3}}{9}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = 2 e^{3}

$a = 2 e^{3}$ und

b = 2

$b = 2$ .

\frac{(2 e^{3} - 2) ({(2 e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}

$\frac{(2 e^{3} - 2) ({(2 e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf

2 e^{3}

$2 e^{3}$ an.

\frac{(2 e^{3} - 2) (2^{2} {(e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}

$\frac{(2 e^{3} - 2) (2^{2} {(e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{(2 e^{3} - 2) (4 {(e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 {(e^{3})}^{2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere die Exponenten in

{(e^{3})}^{2}

${(e^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{3 \cdot 2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{3 \cdot 2} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

$2$ .

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{6} + 2 e^{3} \cdot 2 + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{6} + 4 e^{3} + 2^{2})}{9}$

Schritt 2.4.5

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{6} + 4 e^{3} + 4)}{9}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{(2 e^{3} - 2) (4 e^{6} + 4 e^{3} + 4)}{9}$

Dezimalform:

$7201.85238006 \dots$