Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ als Gleichung.

$y = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6}{5} \cdot \cos (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$ um.

$\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.1

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $\cos (y)$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cos (y)$ heraus.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (y) = \frac{5}{6} x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $x$ .

$\cos (y) = \frac{5 x}{6}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{5 (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))}{6})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{6}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot 6}{5} \cdot \cos (x)}{6})$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{5 \cdot 6}{5}$ und $\cos (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{30 \cos (x)}{5}}{6})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{30 \cos (x)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $30 \cos (x)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Schritt 5.2.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 (1)}}{6})$

Schritt 5.2.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Schritt 5.2.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{6 \cos (x)}{1}}{6})$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $6 \cos (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arccos (\frac{5 x}{6}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \cos (\arccos (\frac{5 x}{6}))$

Schritt 5.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$