Analysis Beispiele

$\frac{x + 2}{x - 6}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 6$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 6 x = y + 2$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 6 x - y = 2$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = 2 + 6 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = 2 + 6 x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 + 6 x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 + 6 x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.4.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (3 x)$ heraus.

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.5.3

Addiere $x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.5.4

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.3.5.5

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4.4

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4.5

Addiere $2$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{4 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Schritt 4.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.8.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Schritt 4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Schritt 4.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ und $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.3.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

Schritt 4.3.3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ heraus.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Schritt 4.3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Schritt 4.3.3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Schritt 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Schritt 4.3.4.2

Kombinieren.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Schritt 4.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7.3

Addiere $3 x + x$ und $0$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Schritt 4.3.8.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Schritt 4.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Schritt 4.3.8.4

Addiere $1$ und $3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

Schritt 4.3.8.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

Schritt 4.3.8.6

Addiere $0$ und $4$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$