Analysis Beispiele

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{x}$ und $a_{x + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ und ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ aus ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $x$ und $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = - \frac{5}{7}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $x$ in $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ ein.

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{7}$ an.

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{7}$ an.

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ mit $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Schritt 3.2.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Schritt 3.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 15 \cdot 1$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$a = 15$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{7}$ an.

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{7}$ an.

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{8}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $8$ und $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere $5$ mit $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.5

Potenziere $7$ mit $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.1.8

Subtrahiere $390625$ von $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $- - \frac{5}{7}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Schritt 5.2.4

Addiere $7$ und $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $12$ aus $5374176$ heraus.

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $7$ aus $5764801$ heraus.

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Schritt 5.6

Multipliziere $15 (\frac{447848}{823543})$ .

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $15$ und $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $15$ mit $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$