Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} = {(e^{i x} + e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{{(2 i)}^{3}}$ um.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{{(2 i)}^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{{(2 i)}^{3}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{2^{3} i^{3}}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 i^{3}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 (- 1 \cdot i)}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 \cdot - 1 i}$

Schritt 2.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- (8 i)}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- 8 i}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{- 8 i}$ mit der Konjugierten von $- 8 i$ , um den Nenner reell zu machen.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1

Kombinieren.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1 i}{- 8 i i}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i i}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.3.1

Füge Klammern hinzu.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i i)}$

Schritt 2.3.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i^{2}}$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 \cdot - 1}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{8}$