Analysis Beispiele

$\sin (3 x) = \cos (2 x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (3 x) - \cos (2 x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 3.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Schritt 3.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 4 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 + 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.6

Addiere $- 4$ und $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 3.2.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 3.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $\sin (x) - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1}{\sin (x) - 1}$

Schritt 3.2.5

Dividiere $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ durch $\sin (x) - 1$ .

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Schritt 3.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$\sin (x)$

$1$

$4 \sin^{3} (x)$

$2 \sin^{2} (x)$

$3 \sin (x)$

$1$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 \sin^{3} (x)$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $\sin (x)$ .

				-	$4 \sin^{2} (x)$
	$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$

Schritt 3.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$4 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin^{2} (x)$

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

Schritt 3.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 \sin^{2} (x)$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $\sin (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

Schritt 3.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$2 \sin (x)$

Schritt 3.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$

Schritt 3.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$

Schritt 3.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Schritt 3.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $\sin (x)$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $\sin (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Schritt 3.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Schritt 3.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $\sin (x) - 1$

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$

Schritt 3.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$
										$0$

Schritt 3.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Schritt 3.2.6

Schreibe $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 5.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.3

Setze die Werte $a = - 4$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 4}$

Schritt 6.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.8

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Schritt 6.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.8.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Schritt 6.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Schritt 6.2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{13 π}{10}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Schritt 6.2.8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{3 π}{10}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Schritt 6.2.8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.8.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Schritt 6.2.8.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.6.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Schritt 6.2.8.6.4.2

Subtrahiere $3 π$ von $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Schritt 6.2.8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{17 π}{10}$

Schritt 6.2.8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.2.9

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Schritt 6.2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.9.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Schritt 6.2.9.3

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Schritt 6.2.9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.9.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Schritt 6.2.9.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{9 π}{10}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Schritt 6.2.9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.9.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.2.10

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede Ganzzahl $n$