Analysis Beispiele

$y = x^{4}$ , $[2, 3]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{4} = 0$

Schritt 1.2

Löse $x^{4} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{4} d x - \int_{2}^{3} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{3} x^{4} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $x^{4}$ .

$\int_{2}^{3} x^{4} d x$

Schritt 3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{3}$

Schritt 3.4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $3$ und $2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $243$ .

$\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.4.2.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 32$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$\frac{243}{5} - 32 (\frac{1}{5})$

Schritt 3.4.2.5

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{243}{5} + \frac{- 32}{5}$

Schritt 3.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{243}{5} - \frac{32}{5}$

Schritt 3.4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{243 - 32}{5}$

Schritt 3.4.2.8

Subtrahiere $32$ von $243$ .

$\frac{211}{5}$

Schritt 4