Analysis Beispiele

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $11 - 3 x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 11$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 11$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 11$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{11}{3}}$ als $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Schritt 1.2.4.4.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Schritt 1.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Schritt 1.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt{33}}{3}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Schritt 2

Stelle $11$ und $- 3 x^{2}$ um.

$y = - 3 x^{2} + 11$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0$ von $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Schritt 4.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Schritt 4.7

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Schritt 4.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Schritt 4.8.2

Berechne $11 x$ bei $1$ und $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3

Vereinfache.

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Schritt 4.8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.8.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.8

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Schritt 4.8.3.9

Mutltipliziere $- 11$ mit $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Schritt 4.8.3.10

Addiere $11$ und $0$ .

$- 1 + 11$

Schritt 4.8.3.11

Addiere $- 1$ und $11$ .

$10$

Schritt 5