Analysis Beispiele

$y = 5 x^{3} - 5 x$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung der Funktion. Um die Steigung der Gleichung, die die Gerade berührt, zu ermitteln, berechne die Ableitung beim gewünschten Wert von $x$ .

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} - 5 x)$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 x^{2} - 5 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$15 x^{2} - 5$

Schritt 5

Die Ableitung der Gleichung als Funktion von $y$ kann ebenso durch $f' (x)$ wiedergegeben werden.

$f' (x) = 15 x^{2} - 5$

Schritt 6

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 15 {(1)}^{2} - 5$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 5$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$f' (1) = 15 - 5$

Schritt 8

Subtrahiere $5$ von $15$ .

$f' (1) = 10$

Schritt 9

Die Ableitung bei $(1, 0)$ is $10$ .

$10$