Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung der Funktion. Um die Steigung der Gleichung, die die Gerade berührt, zu ermitteln, berechne die Ableitung beim gewünschten Wert von $x$ .

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 0$

Schritt 5.2

Addiere $12 x^{2} - 14 x$ und $0$ .

$12 x^{2} - 14 x$

Schritt 6

Die Ableitung der Gleichung als Funktion von $y$ kann ebenso durch $f' (x)$ wiedergegeben werden.

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

Schritt 7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $4$ .

$f' (4) = 192 - 56$

Schritt 9

Subtrahiere $56$ von $192$ .

$f' (4) = 136$

Schritt 10

Die Ableitung bei $(4, 140)$ is $136$ .

$136$