Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Berechne $\arccos (- \frac{1}{5})$ .

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Schritt 2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Schritt 2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 1.77215424$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.77215424$ .

$x = 3.54430849$

Schritt 2.7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

Schritt 2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 2.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache $2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Subtrahiere $1.77215424$ von $6.2831853$ .

$x = 2 \cdot 4.51103105$

Schritt 2.8.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4.51103105$ .

$x = 9.02206211$

Schritt 2.9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 2.9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 2.10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4