Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\ln (x)) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x) = e^{0}$ um.

$\ln (x) = e^{0}$

Schritt 2.3.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\ln (x) = e^{0}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Schritt 2.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{e^{0}}$ um.

$x = e^{e^{0}}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache $e^{e^{0}}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = e^{1}$

Schritt 2.3.4.2.2

Vereinfache.

$x = e$

Schritt 3

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 4

Setze das Argument in $\ln (\ln (x))$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (x) \leq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $\ln (x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Schritt 5.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{0}$ um.

$x = e^{0}$

Schritt 5.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 5.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 5.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (- 2) \leq 0$

Schritt 5.5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 5.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (0.5) \leq 0$

Schritt 5.5.2.3

Die linke Seite $- 0.69314718$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (4) \leq 0$

Schritt 5.5.3.3

Die linke Seite $1.38629436$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 5.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq 1$

Schritt 6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Schritt 7