Analysis Beispiele

$y = \ln (\tan^{2} (x))$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\tan^{2} (x))$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\tan^{2} (x) \leq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{\tan^{2} (x)} \leq \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| \tan (x) | \leq | 0 |$

Schritt 2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| \tan (x) | \leq 0$

Schritt 2.3

Schreibe $| \tan (x) | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\tan (x) \geq 0$

Schritt 2.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\tan (x)$ nicht negativ ist.

$\tan (x) \leq 0$

Schritt 2.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\tan (x) < 0$

Schritt 2.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\tan (x)$ negativ ist.

$- \tan (x) \leq 0$

Schritt 2.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \tan (x) \leq 0 & \tan (x) \geq 0 \\ - \tan (x) \leq 0 & \tan (x) < 0 \end{cases}$

Schritt 2.4

Bestimme die Schnittmenge von $\tan (x) \leq 0$ und $\tan (x) \geq 0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 2.5

Löse $- \tan (x) \leq 0$ , wenn $\tan (x) < 0$ ergibt.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1.1

Teile jeden Term in $- \tan (x) \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\tan (x) \geq 0$

Schritt 2.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $\tan (x) \geq 0$ und $\tan (x) < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$\tan (x) = 0$

Schritt 2.7

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 2.8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.9

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 2.10

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 2.11

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.11.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.12

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.14

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan^{2} (x)$ .

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Schritt 2.14.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.14.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Schritt 2.16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.16.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 2.16.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan^{2} (1) \leq 0$

Schritt 2.16.1.3

Die linke Seite $2.42551882$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.16.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.16.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan^{2} (2) \leq 0$

Schritt 2.16.2.3

Die linke Seite $4.7743992$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.16.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < π$ Falsch

Schritt 2.17

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5