Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 4$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 1.2.4

Vereinfache ${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 5 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 1.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$y = 1 - 5 + 4$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$y = - 4 + 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 10 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 10 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 10 \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 10 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 10 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$4 - 10$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$- 6$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 6$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 6 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 6 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 6 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $- 6 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 6 x - 6 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = - 6 x + 6$

Schritt 4