Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{6}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{6}$ für $x$ ein.

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $2$ mit $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 1.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 1.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{6}$ und $y = \sqrt{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 2.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.4.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

Schritt 2.4.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 2}$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$2^{3}$

Schritt 2.4.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

Schritt 3.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

Schritt 3.3.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

Schritt 3.3.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

Schritt 3.3.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 π$ heraus.

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ heraus.

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.8

Schreibe $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ als $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ um.

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4