Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$ , $x = \frac{1}{11}$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{1}{11}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{1}{11}$ für $x$ ein.

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 (- 1) \frac{1}{11}}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 \cdot - 1 \frac{1}{11}}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{11} \cdot 1$

Schritt 1.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{11}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{11}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{11}$ und $y = \frac{1}{11}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2 - 11 x$ mit $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.9.2

Addiere $- 11 x$ und $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.9.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 2.2.9.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{11}$ .

$\frac{2}{{(- 11 (\frac{1}{11}) + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$\frac{2}{{(11 (- 1) \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{{(11 \cdot - 1 \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(- 1 + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Schritt 2.4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{1}$

Schritt 2.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{11}, \frac{1}{11})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{11}) = 2 \cdot (x - (\frac{1}{11}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - \frac{1}{11})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{11} = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{11} = 2 x + 2 (- \frac{1}{11})$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $2 (- \frac{1}{11})$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x - 2 (\frac{1}{11})$

Schritt 3.3.1.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{11}$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x + \frac{- 2}{11}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{1}{11} = 2 x - \frac{2}{11}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{11}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - \frac{2}{11} + \frac{1}{11}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2 x + \frac{- 2 + 1}{11}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = 2 x + \frac{- 1}{11}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 x - \frac{1}{11}$

Schritt 4