Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ , $x = - 2$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = {(- 2)}^{4} - 18 {(- 2)}^{2} + 81$

Schritt 1.2

Vereinfache ${(- 2)}^{4} - 18 {(- 2)}^{2} + 81$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$y = 16 - 18 {(- 2)}^{2} + 81$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = 16 - 18 \cdot 4 + 81$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$y = 16 - 72 + 81$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $72$ von $16$ .

$y = - 56 + 81$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $- 56$ und $81$ .

$y = 25$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = 25$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 36 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$4 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$- 32 - 36 \cdot - 2$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$- 32 + 72$

Schritt 2.5.2

Addiere $- 32$ und $72$ .

$40$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $40$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, 25)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (25) = 40 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 25 = 40 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $40 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 25 = 0 + 0 + 40 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 25 = 40 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 25 = 40 x + 40 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $40$ mit $2$ .

$y - 25 = 40 x + 80$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 40 x + 80 + 25$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $80$ und $25$ .

$y = 40 x + 105$

Schritt 4