Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = 1 - 1$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{1} + 1$

Schritt 2.5.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $3$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $3 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Schritt 4