Analysis Beispiele

$f (x) = 0.5 x^{2} - 2 x - 4$ , $x = 3$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0.5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 0.5 \cdot 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $9$ .

$y = 4.5 - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = 4.5 - 6 - 4$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $6$ von $4.5$ .

$y = - 1.5 - 4$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 1.5$ .

$y = - 5.5$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = - 5.5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.5 x^{2} - 2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x - 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x - 2 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $x - 2$ und $0$ .

$x - 2$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$(3) - 2$

Schritt 2.6

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(3, - 5.5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 5.5) = 1 \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 5.5 = 1 \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$y + 5.5 = x - 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $5.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 3 - 5.5$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $5.5$ von $- 3$ .

$y = x - 8.5$

Schritt 4