Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $2 (4) + \frac{5}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = 8 + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

Schritt 1.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = \frac{32 + 5}{4}$

Schritt 1.2.2.5.2

Addiere $32$ und $5$ .

$y = \frac{37}{4}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{37}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{5}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 + 5 (- x^{- 2})$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$2 - 5 x^{- 2}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

Schritt 2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{5}{16} + 2$

Schritt 2.7.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 2.7.3

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Schritt 2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

Schritt 2.7.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{- 5 + 32}{16}$

Schritt 2.7.5.2

Addiere $- 5$ und $32$ .

$\frac{27}{16}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{27}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{37}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{27}{16}$ und $x$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Kombiniere $\frac{27}{4}$ und $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

Schritt 3.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{37}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $- 27$ und $37$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 3.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

Schritt 4