Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$y = \frac{5}{28 + 4}$

Schritt 1.2.2.2.2

Addiere $28$ und $4$ .

$y = \frac{5}{32}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{5}{32}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 3$ und $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.12.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2.12.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $14 x + 8 - 14 x + 21$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $14 x$ von $14 x$ .

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Addiere $8$ und $21$ .

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Addiere $28$ und $4$ .

$\frac{29}{32^{2}}$

Schritt 2.5.3

Potenziere $32$ mit $2$ .

$\frac{29}{1024}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{29}{1024}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{5}{32})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{29}{1024}$ und $x$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $1024$ heraus.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Kombiniere $\frac{29}{256}$ und $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere $29$ mit $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

Schritt 3.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{5}{32}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

Schritt 3.3.2.2

Um $\frac{5}{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $256$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{32}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $32$ mit $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 29$ und $40$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

Schritt 4