Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 4}{4 x - 3}$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = \frac{3 - 4}{4 (1) - 3}$

Schritt 1.2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$y = \frac{- 1}{4 (1) - 3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1}{4 - 3}$

Schritt 1.2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$y = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = - 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 4$ und $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(4 x - 3) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x - 3$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 3) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{12 x - 9 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 x - 9 - 12 x + 16$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$\frac{0 - 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{- 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Addiere $- 9$ und $16$ .

$\frac{7}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{7}{{(4 (1) - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{7}{{(4 - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{7}{1^{2}}$

Schritt 2.5.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{7}{1}$

Schritt 2.5.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $7$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 7 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $7 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$y + 1 = 7 x - 7$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7 x - 7 - 1$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 7$ .

$y = 7 x - 8$

Schritt 4