Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ und ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ aus ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $n$ und $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = \frac{1}{5}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ ein.

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Schritt 3.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 125 \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $125$ mit $1$ .

$a = 125$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ in den Zähler.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5^{4}$ heraus.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.8

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $5$ und $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $1$ von $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $4$ aus $624$ heraus.

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.7.3

Forme den Ausdruck um.

$125 (\frac{156}{125})$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 5.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 (\frac{156}{125})$

Schritt 5.8.2

Forme den Ausdruck um.

$156$