Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(i - 1)}^{2}$ als $(i - 1) (i - 1)$ um.

$(i - 1) (i - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(i - 1) (i - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $i$ von $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $40$ und $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $210$ mit $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Dividiere $8610$ durch $3$ .

$2870$

Schritt 4

Berechne $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 420$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $420$ .

$- 420$

Schritt 5

Berechne $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (20)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2870 - 420 + 20$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $420$ von $2870$ .

$2450 + 20$

Schritt 7.2

Addiere $2450$ und $20$ .

$2470$