Analysis Beispiele

$\sum_{i = 2}^{24} 5 i^{2} + 8$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 2}^{24} 5 i^{2} + 8 = \sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 - \sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 = 5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} + \sum_{k = 1}^{24} 8$

Schritt 2.2

Berechne $5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(5) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $24$ und $1$ .

$5 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $24$ mit $25$ .

$5 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$5 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$5 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $600$ mit $49$ .

$5 (\frac{29400}{6})$

Schritt 2.2.3.2.2

Dividiere $29400$ durch $6$ .

$5 \cdot 4900$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $4900$ .

$24500$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{24} 8$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(8) (24)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $24$ .

$192$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$24500 + 192$

Schritt 2.5

Addiere $24500$ und $192$ .

$24692$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$5 \cdot 1^{2} + 8$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$5 \cdot 1 + 8$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + 8$

Schritt 3.2.3

Addiere $5$ und $8$ .

$13$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$24692 - 13$

Schritt 5

Subtrahiere $13$ von $24692$ .

$24679$