Analysis Beispiele

$\sum_{i = 4}^{7} 3^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{3^{i + 1}}{3^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{i + 1}$ und $3^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3^{i}$ aus $3^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{3}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$r = 3$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $4$ für $i$ in $3^{i}$ ein.

$a = 3^{4}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$a = 81$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$81 \frac{1 - 3^{4}}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 \frac{1 - 1 \cdot 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$81 \frac{1 - 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $81$ von $1$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 3}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$81 (\frac{- 80}{- 2})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 80$ durch $- 2$ .

$81 \cdot 40$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $81$ mit $40$ .

$3240$