Analysis Beispiele

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (8)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 3

Berechne $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus der Summe raus.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Schritt 3.2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$- \frac{8371}{280}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $17$ .

$\frac{612}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $612$ durch $3$ .

$204$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Schritt 6.1.4

Schreibe $204$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $\frac{204}{1}$ mit $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $\frac{204}{1}$ mit $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $204$ mit $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Schritt 6.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $8371$ von $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Schritt 6.4.2

Addiere $- 6131$ und $57120$ .

$\frac{50989}{280}$