Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{i + 1}$ und $2^{i}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2^{i}$ aus $2^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $2^{i}$ ein.

$a = 2^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = 2$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Schritt 5.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ als $- (1 - 2^{100})$ um.

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Schritt 5.6

Multipliziere $- - 2^{100}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2^{100}$ mit $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Schritt 5.9

Multipliziere $2$ mit $2^{100}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{100}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Schritt 5.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Schritt 5.9.2

Addiere $1$ und $100$ .

$- 2 + 2^{101}$