Analysis Beispiele

100 \sum i = 1 2^{i}

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel

a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})

$a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei

a

$a$ der erste Term und

r

$r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel

r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}

$r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze

a_{i}

$a_{i}$ und

a_{i + 1}

$a_{i + 1}$ in die Formel für

r

$r$ ein.

r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

2^{i + 1}

$2^{i + 1}$ und

2^{i}

$2^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere

2^{i}

$2^{i}$ aus

2^{i + 1}

$2^{i + 1}$ heraus.

r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit

1

$1$ .

r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere

$2$ durch

$1$ .

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze

$1$ für

$i$ in

$2^{i}$ ein.

$a = 2^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = 2$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Schritt 5.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Schritt 5.3

Schreibe

$- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ als

$- (1 - 2^{100})$ um.

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Schritt 5.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Schritt 5.6

Multipliziere

$- - 2^{100}$ .

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere

$2^{100}$ mit

$1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Schritt 5.9

Multipliziere

$2$ mit

$2^{100}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$2^{100}$ .

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Schritt 5.9.1.1

Potenziere

$2$ mit

$1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Schritt 5.9.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Schritt 5.9.2

Addiere

$1$ und

$100$ .

$- 2 + 2^{101}$