Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{12} 2 i^{2} - 1$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{12} 2 i^{2} - 1 = 2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2} + \sum_{k = 1}^{12} - 1$

Schritt 2

Berechne $2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2) (\frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $12$ und $1$ .

$2 \frac{12 \cdot 13 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$2 \frac{156 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$2 \frac{156 (24 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $24$ und $1$ .

$2 \frac{156 \cdot 25}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $156$ mit $25$ .

$2 (\frac{3900}{6})$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \frac{3900}{2 (3)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3900}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3900}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Dividiere $3900$ durch $3$ .

$1300$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} - 1$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 1) (12)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1300 - 12$

Schritt 5

Subtrahiere $12$ von $1300$ .

$1288$