Analysis Beispiele

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ heraus.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Schritt 2.2.3.2.4

Addiere $18$ und $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $30$ mit $19$ .

$\frac{570}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2

Dividiere $570$ durch $2$ .

$285$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (9)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$285 + 9$

Schritt 2.5

Addiere $285$ und $9$ .

$294$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 + 4 + 1$

Schritt 3.2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$2 + 5$

Schritt 3.2.5

Addiere $2$ und $5$ .

$7$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$294 - 7$

Schritt 5

Subtrahiere $7$ von $294$ .

$287$