Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} 12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ und ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ aus ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $n$ und $0$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - (n - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = - \frac{1}{9}$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $n$ in $12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ ein.

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{0}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{9}$ an.

$a = 12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{9})}^{0})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{9}$ an.

$a = 12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 12 (1 \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{9^{0}}$ mit $1$ .

$a = 12 \frac{1^{0}}{9^{0}}$

Schritt 4.2.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 12 \frac{1}{9^{0}}$

Schritt 4.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 12 \cdot 1$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$a = 12$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{12}{1 - - \frac{1}{9}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $- - \frac{1}{9}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{12}{1 + 1 (\frac{1}{9})}$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$\frac{12}{1 + \frac{1}{9}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12}{\frac{9 + 1}{9}}$

Schritt 6.1.4

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{12}{\frac{10}{9}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$12 (\frac{9}{10})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 (6) \frac{9}{10}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{9}{5})$

Schritt 6.4

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 9}{5}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{54}{5}$