Analysis Beispiele

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $12 x^{2} + 30 x + 10$ und $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $12$ mit $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $30$ mit $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Schritt 4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1

Addiere $300$ und $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Schritt 4.2

Addiere $450$ und $10$ .

$f'' (5) = 460$