Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 27}$ als ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 1.10

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Addiere $9$ und $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Schritt 3.6

Berechne den Exponenten.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (3) = \frac{1}{2}$