Analysis Beispiele

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 9 x + 7$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.6.1

Addiere $9$ und $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

Schritt 1.4.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ aus $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ aus $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ heraus.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ aus $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ heraus.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ aus $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ heraus.

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

Schritt 1.5.5

Addiere $18 x$ und $9 x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Schritt 3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Schritt 4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Schritt 5

Addiere $36$ und $7$ .

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

Schritt 6

Potenziere $43$ mit $3$ .

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

Schritt 7

Mutltipliziere $40$ mit $79507$ .

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

Schritt 8

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

Schritt 9

Addiere $108$ und $7$ .

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

Schritt 10

Mutltipliziere $3180280$ mit $115$ .

$h' (4) = 365732200$