Analysis Beispiele

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 r$ heraus.

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 (r)$ an.

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2

Da $2^{\frac{2}{3}}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ nach $r$ gleich $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.10

Kombiniere $2^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.11

Multipliziere $2^{\frac{2}{3}}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.11.1

Bewege $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.11.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.11.5

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.12

Bringe $r^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $r$ durch $5$ .

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$