Analysis Beispiele

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Schritt 1.2.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

Schritt 1.2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

Schritt 1.2.10

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Schritt 1.2.11

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Schritt 1.2.12

Kombiniere ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ und $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Schritt 1.2.13

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Schritt 1.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ und ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.14.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ aus $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ heraus.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Schritt 1.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.14.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ aus ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ heraus.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Schritt 1.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Schritt 1.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Subtrahiere $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ von $0$ .

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ um.

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 2 x + 3$ mit $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $- 2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.9

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.11

Schreibe $- (2 x - 3)$ als $- 1 (2 x - 3)$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

Schritt 4.4

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

Schritt 5.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (2) = - 3$