Analysis Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{x^{2} + 16}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 16$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 16$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.4

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} + 16)}^{2}$ als $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ um.

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.2

Addiere $16 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $32$ mit $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $256$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 64$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.2

Subtrahiere $64 x^{3}$ von $64 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.3

Subtrahiere $1024 x$ von $- 512 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ heraus.

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Schritt 2.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 64 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 1536 x$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} - 32 u - 768$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 768$ und deren Summe $- 32$ ist.

$- 48, 16$

Schritt 2.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 16$ und ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.5.5.1

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus ${(x^{2} + 16)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 2.2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 2.2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{2} - 48$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{2} - 48$ gleich $0$ .

$x^{2} - 48 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{2} - 48 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $48$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 48$

Schritt 3.3.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{48}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{48}$ .

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 48) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $0$ und $16$ .

$f (0) = \frac{0}{16}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $0$ durch $16$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Schritt 4.3.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $48$ und $16$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $64$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ ermittelt werden kann, ist $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Schritt 4.5

Ersetze $- 4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{3}$ an.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Schritt 4.5.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Schritt 4.5.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Schritt 4.5.2.1.5

Addiere $48$ und $16$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $64$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

Schritt 4.5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.5.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ ermittelt werden kann, ist $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 14.05640646$ mit ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 7.02820323$ mit $2$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $49.39564064$ und $16$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $65.39564064$ mit $3$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 19.61769219$ durch $279670.33076553$ .

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.00007014$ .

$- 0.00007014$

Schritt 6.3

Bei $- 7.02820323$ , die zweite Ableitung ist $- 7.01457753 E - 5$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 6.92820323$ mit ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 3.46410161$ mit $2$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $12$ und $16$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $28$ mit $3$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $249.41531628$ durch $21952$ .

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.01136184$ .

$0.01136184$

Schritt 7.3

Bei $- 3.46410161$ ist die zweite Ableitung $0.01136184$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 4 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $6.92820323$ mit ${3.46410161}^{2} - 48$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $3.46410161$ mit $2$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $12$ und $16$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $28$ mit $3$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 249.41531628$ durch $21952$ .

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.01136184$ .

$- 0.01136184$

Schritt 8.3

Bei $3.46410161$ , die zweite Ableitung ist $- 0.01136184$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 4 \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(0, 4 \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4 \sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $14.05640646$ mit ${7.02820323}^{2} - 48$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $7.02820323$ mit $2$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $49.39564064$ und $16$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $65.39564064$ mit $3$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $19.61769219$ durch $279670.33076553$ .

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.00007014$ .

$0.00007014$

Schritt 9.3

Bei $7.02820323$ ist die zweite Ableitung $7.01457753 E - 5$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(4 \sqrt{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(4 \sqrt{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ .

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Schritt 11