Analysis Beispiele

$y^{2} + 6 y + 9 = 12 - 12 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12 - 12 x = y^{2} + 6 y + 9$ um.

$12 - 12 x = y^{2} + 6 y + 9$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x = y^{2} + 6 y + 9 - 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 (y)}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{6 \cdot - 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{6 \cdot - 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{y}{- 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3}{- 12}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 (1)}{- 12}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 4.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$ an.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 4.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 4.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 4.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 4.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 4.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 4.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Schritt 4.1.1.3.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot 6$

Schritt 4.1.1.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 4.1.1.3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 4.1.1.3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 4.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{12}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

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Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 4.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3)$

Schritt 4.1.1.4.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 3$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{1}{4} - - \frac{3}{4}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.8

Multipliziere $- - \frac{3}{4}$ .

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Schritt 4.1.1.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{1}{4} + 1 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.1.1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{1 + 3}{4}$

Schritt 4.1.1.4.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$e = \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.1.4.2.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = 1$

Schritt 4.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{12} {(y + 3)}^{2} + 1$ ein.

$- \frac{1}{12} {(y + 3)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y + 3)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 3$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Schritt 4.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 4.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 4.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 4.5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 4.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 3)$

Schritt 4.5.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 3)$ .

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Schritt 4.5.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Schritt 4.5.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, - 3)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = 4$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 4$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 4$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 1.89897948)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - (- 1))}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 + 1)}$

Schritt 5.1.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 3 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 3 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 + 2 \sqrt{6}$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $- 3 + 2 \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= 1.89897948$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 7.89897948)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - (- 1))}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 + 1)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 3 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 3 - 2 \sqrt{6}$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 - 2 \sqrt{6}$ .

$y = - 3 - 2 \sqrt{6}$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $- 3 - 2 \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= - 7.89897948$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 0.46410161)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - (0))}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 + 0)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 + 2 \sqrt{3}$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $- 3 + 2 \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= 0.46410161$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, - 6.46410161)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - (0))}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 + 0)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (0) = - 3 - 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (0) = - 3 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 5.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 - 2 \sqrt{3}$ .

$y = - 3 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $- 3 - 2 \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= - 6.46410161$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1.9 \\ - 1 & - 7.9 \\ 0 & 0.46 \\ 0 & - 6.46 \\ 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 2, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1.9 \\ - 1 & - 7.9 \\ 0 & 0.46 \\ 0 & - 6.46 \\ 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 7