Analysis Beispiele

$\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 lim_{x \to \infty} \frac{e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$12 \frac{lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $- 2 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 x}$ $0$ an.

$12 \frac{0}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$12 \frac{0}{{(1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 \frac{0}{{(1 + 3 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da der Exponent $- 2 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 x}$ $0$ an.

$12 \frac{0}{{(1 + 3 \cdot 0)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$12 \frac{0}{{(1 + 0)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$12 \frac{0}{1^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 (\frac{0}{1})$

Schritt 3.5.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$12 \cdot 0$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7