Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{2} + 16 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 16$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 4 i, x = - 4 i$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 4 i, x = - 4 i$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 16)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 + 16)$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $16$ .

$f (1) = \ln (17)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (17)$ nach Dezimal.

$y = 2.83321334$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 16)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 16)$

Schritt 3.2.2

Addiere $4$ und $16$ .

$f (2) = \ln (20)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (20)$ .

$\ln (20)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (20)$ nach Dezimal.

$y = 2.99573227$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 16)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 16)$

Schritt 4.2.2

Addiere $9$ und $16$ .

$f (3) = \ln (25)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (25)$ nach Dezimal.

$y = 3.21887582$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 4 i, x = - 4 i$ und den Punkten $(1, 2.83321334), (2, 2.99573227), (3, 3.21887582)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 4 i, x = - 4 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.833 \\ 2 & 2.996 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Schritt 6