Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 2, x = - 2$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 2, x = - 2$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f (- 3) = \ln (5)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (5)$ nach Dezimal.

$= 1.60943791$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \ln ({(- 4)}^{2} - 4)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \ln (16 - 4)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f (- 4) = \ln (12)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (12)$ .

$\ln (12)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (12)$ nach Dezimal.

$= 2.48490664$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 5$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \ln ({(- 5)}^{2} - 4)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \ln (25 - 4)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$f (- 5) = \ln (21)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (21)$ .

$\ln (21)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (21)$ nach Dezimal.

$= 3.04452243$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 2, x = - 2$ und den Punkten $(- 3, 1.60943791), (- 4, 2.48490664), (- 5, 3.04452243)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 2, x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 3.045 \\ - 4 & 2.485 \\ - 3 & 1.609 \end{array}$

Schritt 6