Analysis Beispiele

$f (x) = \csc (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{π x}{2})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{π x}{2})$ auftreten.

$\frac{π x}{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$π x = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{π x}{2}$ gleich $2 π$ .

$\frac{π x}{2} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} (2 π)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (2 π)$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 1.4.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 2$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \csc (\frac{π x}{2})$ tritt auf bei $(0, 4)$ , wobei $0$ und $4$ vertikale Asymptoten sind.

$(0, 4)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.3.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{π x}{2})$ treten auf bei $0$ , $4$ und jedem $2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = 2 n$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = \frac{π}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $\csc (\frac{π x}{2})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 4.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{2}{π})$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{π}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8