Analysis Beispiele

$\int x^{4} e^{x^{5} - 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{5} - 2$ . Dann ist $d u = 5 x^{4} d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{5} - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{5} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{5} - 2$ .

$\frac{1}{5} e^{x^{5} - 2} + C$