Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{5} {(2 i - 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 i - 1)}^{2}$ als $(2 i - 1) (2 i - 1)$ um.

$(2 i - 1) (2 i - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 i - 1) (2 i - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i - 1) - 1 (2 i - 1)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i - 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 i \cdot i + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 i^{2} - 2 i - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i + 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 i$ von $- 2 i$ .

$4 i^{2} - 4 i + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{5} 4 i^{2} - 4 i + 1$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 + 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 + \dots + 4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$

Schritt 3

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$165$