Analysis Beispiele

$\int {(9 x + 2)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 9 x + 2$ . Dann ist $d u = 9 d x$ , folglich $\frac{1}{9} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 9 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $9 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [9 x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $9$ und $0$ .

$9$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} \frac{1}{9} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{u^{2}}{9} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{9} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ um.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 3} u^{3} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{1}{27} u^{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $9 x + 2$ .

$\frac{1}{27} {(9 x + 2)}^{3} + C$