Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.12.1

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.4.1

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ als ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = - x + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ als ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = - x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ als ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ um.

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = - x + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.7.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$