Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ nach Dezimal.

$y = 0.23104906$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ nach Dezimal.

$y = 0.36620409$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.23104906), (3, 0.36620409)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.231 \\ 3 & 0.366 \end{array}$

Schritt 6