Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 24 x + 15$

Schritt 1

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 3)}^{3}$ und $3$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (3)$ an.

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot 3^{3}$ heraus.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Dividiere $- 1 \cdot 3^{2}$ durch $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 1 \cdot 3^{2}$ als $- 3^{2}$ um.

$f (- 3) = - 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 24 \cdot - 3 + 15$

Schritt 1.2.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 72 + 15$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (- 3) = 0 + 72 + 15$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $0$ und $72$ .

$f (- 3) = 72 + 15$

Schritt 1.2.2.3

Addiere $72$ und $15$ .

$f (- 3) = 87$

Schritt 1.2.3

Die endgültige Lösung ist $87$ .

$87$

Schritt 1.3

Konvertiere $87$ nach Dezimal.

$y = 87$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Schritt 2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 15$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 15$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $0$ und $15$ .

$f (0) = 15$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 2.3

Konvertiere $15$ nach Dezimal.

$y = 15$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Schritt 3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 - 24 \cdot - 2 + 15$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 + 48 + 15$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} + 48 + 15$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48 + 15$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 48 + 15$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $48$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} + 15$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{48}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{48}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + 15$

Schritt 3.2.2.7

Schreibe $15$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Schritt 3.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 45}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $- 8$ und $12$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 144 + 45}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $4$ und $144$ .

$f (- 2) = \frac{148 + 45}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Addiere $148$ und $45$ .

$f (- 2) = \frac{193}{3}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{193}{3}$ .

$\frac{193}{3}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{193}{3}$ nach Dezimal.

$y = 64.\overline{3}$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3}}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot - 1 + 15$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 + 24 + 15$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} + 24 + 15$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 24 + 15$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 24 + 15$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $24$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} + 15$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{24}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{24}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + 15$

Schritt 4.2.2.7

Schreibe $15$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 45}{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 + 72 + 45}{3}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $2$ und $72$ .

$f (- 1) = \frac{74 + 45}{3}$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $74$ und $45$ .

$f (- 1) = \frac{119}{3}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{119}{3}$ .

$\frac{119}{3}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{119}{3}$ nach Dezimal.

$y = 39.\overline{6}$

Schritt 5

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot 1 + 15$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 + 15$

Schritt 5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 24 + 15$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24 + 15$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 24 + 15$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe $- 24$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} + 15$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 15$

Schritt 5.2.2.7

Schreibe $15$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 45}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $1$ und $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 72 + 45}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $72$ von $4$ .

$f (1) = \frac{- 68 + 45}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Addiere $- 68$ und $45$ .

$f (1) = \frac{- 23}{3}$

Schritt 5.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{23}{3}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{23}{3}$ .

$- \frac{23}{3}$

Schritt 5.3

Konvertiere $- \frac{23}{3}$ nach Dezimal.

$y = - 7.\overline{6}$

Schritt 6

Die kubische Funktion kann mithilfe des Verhaltens der Funktion und der Punkte graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Schritt 7

Die kubische Funktion kann mithilfe des Verhaltens der Funktion und der ausgewählten Punkte graphisch dargestellt werden.

Fällt nach links ab und steigt nach rechts an

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Schritt 8