Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Schritt 1.5

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.6

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2}}$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Schritt 2.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{4}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{\ln (2)}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (2)$ um.

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ nach Dezimal.

$y = 0.17328679$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{9}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{\ln (3)}{9}$ als $\frac{1}{9} \ln (3)$ um.

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\frac{1}{9} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{9}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{9}})$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{9}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ nach Dezimal.

$y = 0.12206803$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.17328679), (3, 0.12206803)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.173 \\ 3 & 0.122 \end{array}$

Schritt 6