Analysis Beispiele

$y = \frac{9}{x \ln (x)}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{9}{x \ln (x)}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0, x = 1$

Schritt 1.2

Da $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Da $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von links und $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von rechts, dann ist $x = 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = 1$

Schritt 1.4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = 0, 1$

Schritt 1.5

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Schritt 1.7

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.8

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0, 1$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0, 1$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{9}{(2) \ln (2)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \frac{9}{\ln (2^{2})}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{9}{\ln (4)}$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{\ln (4)}$ .

$\frac{9}{\ln (4)}$

Schritt 2.3

Konvertiere $\frac{9}{\ln (4)}$ nach Dezimal.

$y = 6.49212768$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{9}{(3) \ln (3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (3)$ heraus.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (\ln (3))}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{\ln (3)}$ .

$\frac{3}{\ln (3)}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{3}{\ln (3)}$ nach Dezimal.

$y = 2.73071767$

Schritt 4

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0, 1$ und den Punkten $(2, 6.49212768), (3, 2.73071767)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6.492 \\ 3 & 2.731 \end{array}$

Schritt 5